垂径定理是指对于任意圆上的一个点，该点到圆心的连线垂直于该点所在切线。这一定理从几何学角度探究了圆的性质，是圆的基本定理之一。
在圆的内部任取一点P，连接OP线段（O为圆心）。则由垂直的性质可知：OP垂直切线于点T，以O为中心连接PT，并交圆于点Q。连OQ线段，易证：OQ垂直于PT，并平分之。
垂径定理的证明可以采用勾股定理或者向量定理。采用勾股定理的方法需要利用相似三角形的性质。设PT与OP交于点S，则OS^2 + SP^2 = OP^2。又由相似三角形可知，OP^2 = OQ * OT，SP^2 = ST * TP。故：OQ * OT + ST * TP = OQ * (OT + TP) = OQ * OP = OA^2 - AP^2。故可得：OQ^2 + PQ^2 = OA^2 - AP^2 = OP^2。
而采用向量定理证明该定理，需要利用向量的投影和模长之间的关系。设OP的向量为a，圆上任意一点的向量为b，则b - t是切线的向量，其中t为向量在切线上的投影。由于a和b的点积为0（即a与OP垂直），故a与t的点积也为0（即a与t垂直），因此a在t上的投影是OP/2，与垂径定理相符。
垂径定理在几何学中有广泛的应用，如求圆的切线和法线、证明圆的性质、解决相关问题等等。垂径定理也为学习圆的相关定理和解题提供了基础和方便。
垂径定理是圆的基本定理之一，其证明可以采用勾股定理和向量定理等不同的方法。应用垂径定理能够为学习圆的相关知识提供基础和帮助。
