外接圆即为一个三角形外面切一个圆，使得这个圆恰好与三角形三边相切。这个圆就是这个三角形的外接圆。为什么可以画出三角形的外接圆呢？这个问题可以从多个方面来解释。
第一，我们可以利用勾股定理来证明。勾股定理是指在一个直角三角形中，直角边的平方等于其他两边平方的和。设这个三角形三个角的大小分别为A、B、C，对应的边长为a、b、c，则根据勾股定理有：
a2 = b2 + c2 - 2bc*cos A
b2 = a2 + c2 - 2ac*cos B
c2 = a2 + b2 - 2ab*cos C
三式相加化简得：
a2 + b2 + c2 = 2(ab+bc+ac)
化简后得到的式子正是三角形面积公式，即面积S等于三边半周p的一半，即S = √p(p-a)(p-b)(p-c)，其中p=(a+b+c)/2。
由此可以看出三角形的三条边和面积之间有很紧密的关系，如果我们能找到一个圆恰好与三条边都相切，那么这个圆的半径就等于三角形面积除以半周长，即r=S/p，这就是三角形的外接圆。
第二，我们可以从向量的角度来考虑。设三角形的三个顶点为A、B、C，则向量AB和向量AC可以表示为：
AB = B - A，AC = C - A
我们可以用向量叉乘来求向量AB和AC构成的平行四边形的面积，即：
S = 1/2|AB × AC|
其中|AB × AC|表示向量AB和AC叉乘后得到的向量的模长。
我们可以得到三角形的面积公式为：
S = 1/2|AB × AC| = 1/2|B - A × C - A|
由于三角形三个顶点在同一个圆上，所以向量AB和向量AC的向量积与向量BC的向量积方向相反，所以三角形的面积可以表示为：
S = 1/2|AB × AC| = 1/2|BC × BA|
同样利用向量叉乘可以求得圆心C、B、A构成的三角形面积的两倍：
2S? = |AC × AB| = |(C - O) × (B - O)| = |BO × CO|
其中O为圆心。
利用向量叉乘的性质可以得到：
|BO × CO| = BO × CO × sin∠BOC = 2R*S?
其中R为外接圆半径，S?为三角形面积。
所以有：2S? = 2R*S?，即R=S/p。
我们可以借助欧几里得的平面几何学，通过构造垂直平分线来证明。垂直平分线是指一个直线同时垂直于一条边且平分这条边的长度。设三角形的三个顶点为A、B、C，外接圆圆心为O，垂直平分线分别过AB、BC、AC的交点分别为D、E、F，垂直平分线交点O与三角形顶点A、B、C的连线分别为OF、OD、OE。
根据垂直平分线的定义，我们可以得到：
BD = DC = a/2，AE = EC = b/2，CF = FA = c/2
因为OD垂直AB且平分线段AB，所以AD = DB = a/2，同理可得BE = EC = b/2、CF = FA = c/2。
由于OF的垂直平分线段BC，所以OB = OC，同理可得OC = OA，即O为三角形内心。
由于圆心O到垂直平分线的距离等于边长的一半，所以OF = R，同理可得OD = OE = R，即O为三角形外接圆心。
从三角形的勾股定理、向量的角度以及欧几里得几何的角度可以得出三角形的外接圆。外接圆具有很多的性质，比如三角形外接圆的直径等于三角形的斜边长，外接圆的直径也是利用勾股定理可以得到的。通过外接圆可以方便地计算出三角形的各种性质，因此对于几何学来说，外接圆是一个重要的概念。
